Cho một không gian Hilbert H, một toán tử tuyến tính liên tục A: H → H, một toán tử liên tục như vậy gọi là bị chặn theo nghĩa là nó đưa các tập bị chặn vào các tập bị chặn. Điều này cho phép định nghĩa chuẩn của nó như là

‖ A ‖ = sup { ‖ A x ‖ : ‖ x ‖ ≤ 1 } . {\displaystyle \lVert A\rVert =\sup \left\{\,\lVert Ax\rVert :\lVert x\rVert \leq 1\,\right\}.}

Tổng hay là hợp (composition) của hai toán tử tuyến tính liên tục cũng liên tục và tuyến tính. Với y trong H, phép biến đổi đó gửi x sang <y, Ax> là tuyến tính và liên tục, và theo định lý biểu diễn Riesz do đó có thể được biểu diễn dưới dạng

⟨ A ∗ y , x ⟩ = ⟨ y , A x ⟩ . {\displaystyle \langle A^{*}y,x\rangle =\langle y,Ax\rangle .}

Điều này định nghĩa một toán tử tuyến tính liên tục khác A*: H → H, gọi là adjoint của A.

Tập hợp L(H) của các toán tử tuyến tính và liên tục trên không gian H, cùng với phép cộng và phép hợp, chuẩn và phép adjoint, làm thành một đại số C*; thực ra, đây là khuôn mẫu nguồn gốc và là ví dụ quan trọng nhất của đại số C*.

Một phần tử A của L(H) được gọi là self-adjoint hay là Hermitian nếu như A* = A. Những toán tử này có nhiều đặc tính của số thực và do đó đôi khi được xem là tổng quát hóa của chúng.

Một phần tử U của L(H) được gọi là unitary nếu U là khả nghịch và nghịch đảo của nó được cho bởi U*. Điều này cũng có thể diễn tả bằng cách yêu cầu rằng <Ux, Uy> = <x, y> với mọi x và y trong H. Những toán tử unitary tạo thành một nhóm nhóm dưới phép hợp, mà có thể xem như là một nhóm automorphism của H.